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By Hans-Jürgen Schneider

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In R Ideale in R. 1. I, J heißen relativ prim, falls I + J = R ist. 2. Das Produkt I1 · . . · In der Ideale I1 , . . , In ist die Menge von (endlichen) Summen von Elementen der Form x1 · . . · xn mit xi ∈ Ii für alle i. (Insbesondere gilt I1 · . . 16 Bemerkung. Es sei R ein kommutativer Ring. 1. Zur Motivation der Bezeichnung: Ideale (a), (b) Z sind genau dann relativ prim, wenn a und b teilerfremd sind. 17 2. Für Ideale I1 , . . , In 16 17 R ist auch I1 · . . · In R ein Ideal. Das ist ja nicht wirklich eine Folgerung aus den letzten Sätzen.

Nach dem Lemma ist n = d|n ϕG (d). Sei d 1 mit d | n und ϕG (d) = 0, so daß es also ein x ∈ G gibt mit ord x = d. Nach Voraussetzung gibt es genau eine Untergruppe von G der Ordnung d, die also zyklisch ist (da sie von x erzeugt wird). Nach dem Lemma, 3. ist damit ϕG (d) = ϕ(d). Damit ist n = d|n ϕG (d) d|n ϕ(d) = n. Also ist ϕG (d) insbesondere ϕG (n) 1, und das ist die Behauptung. 1 für alle d | n, also Insbesondere impliziert also in der Folgerung die Gültigkeit von 2. bereits, daß es zu jedem d | n sogar genau eine Untergruppe von G der Ordnung d gibt.

H. der höchste Koeffizient ist 1), n = deg f . Dann hat R[x]/(f ) eine R-Basis 1, x, x2 , . . , xn−1 , und x kan ist Nullstelle von f in der R-Algebra R[x]/(f ) mit der Strukturabbildung R → R[x] −−→ R[x]/(f ), also rg = rg für alle r ∈ R, g ∈ R[x]. Beweis. 1, x, . . , xn−1 ist ein R-Erzeugendensystem, denn: sei f = r0 + r1 x + · · · + rn−1 xn−1 + xn mit r0 , . . , rn−1 ∈ R. Dann ist in R[x]/(f ) 0 = f = r0 1 + r1 x + · · · + rn−1 xn−1 + xn , also ist xn = −(r0 1 + r1 x + · · · + rn−1 xn−1 ) ∈ spanR (1, x, .

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by Christopher
4.0

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