Download PDF by Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer

By Otto Forster

ISBN-10: 3322915506

ISBN-13: 9783322915504

ISBN-10: 3528372249

ISBN-13: 9783528372248

Inhalt: Vollst?ndige Induktion - Die K?rperaxiome - Anordnungsaxiome - Folgen, Grenzwerte - Das Vollst?ndigkeitsaxiom - Quadratwurzeln - Konvergenzkriterien f?r Reihen - Die Exponentialreihe - Punktmengen - Funktionen, Stetigkeit - S?tze ?ber stetige Funktionen -Logarithmus und allgemeine Potenz - Die Exponentialfunktion im Komplexen - Trigonometrische Funktionen - Differentiation - Loka le severe. Mittelwertsatz. Konvexit?t - Numerische L?sung von Gl eichungen - Das Riemannsche imperative - Integration und Differenti ation - Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion - Gleichm??ig e Konvergenz von Funktionenfolgen - Taylor-Reihen - Fourier-Reihe n.

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Die Behauptung folgt aus dem Quotientenkriterium (§ 7, Satz 7), denn Hir alle n ~ 21xl gilt x n+ 1 (n + I)! xn n! Mithilfe der Exponentialreihe definiert man die berühmte Eulersehe Zahl e: e:=exp(l)= f +. n=O n. Satz 2 (Abschätzung des Restglieds). Es gilt N n exp(x) = ~ " ~ n. 2. Sei (an)n ~ Man zeige: i) 1 45 eine Folge reeller Zahlen mit lan I :::; M Hir alle n ~ l. Für jedes x E IR mit lxi< 1 konvergiert die Reihe f(x) = L anxn . 3. Sei ~ an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe reeller n=O Zahlen.

A) Da die Folge (an) beschränkt ist, gibt es Zahlen A, BE IR mit A ~ an ~ B ftir alle nEIN. Wir betrachten das Intervall [A, B] := {x E IR: A ~ x ~ B} und konstruieren durch vollständige Induktion eine Folge von Intervallen [A k , Bk ], kEIN, mit folgenden Eigenschaften: i) In [Ak , Bk] liegen unendlich viele Glieder der Folge (an), ii) [A k , Bk] C [Ak - I , Bk- d, iii) Bk - Ak = 2- k (B - A). Induktionsanfang. Wir setzen [A o , Bo ] : = [A, B]. Induktionsschritt. Sei das Intervall [Ak , Bk] mit den Eigenschaften i) bis iii) bereits konstruiert.

Für jedes x E IR mit lxi< 1 konvergiert die Reihe f(x) = L anxn . 3. Sei ~ an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe reeller n=O Zahlen. (n) gibt, die gegen c konvergiert. § 8. Die Exponentialreihe Wir behandeln jetzt die Exponentialreihe, die neben der geometrischen Reihe die wichtigste Reihe in der Analysis ist. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion beweisen wir mithilfe eines allgemeinen Satzes über das sogenannte Cauchy-Produkt von Reihen. Satz 1. Für jedes x E IR ist die "Exponentialreihe" 00 , xn exp(x):= '\' ~ n!

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen by Otto Forster

by Ronald

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