New PDF release: Analysis Band 1: Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von

By Ehrhard Behrends

ISBN-10: 3658071222

ISBN-13: 9783658071226

ISBN-10: 3658071230

ISBN-13: 9783658071233

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Q W F W W F p F W W Wie kommt die zweite Zeile zustande? Einfach dadurch, dass eine Aussage p ⇒ q auch dann als wahr anzusehen ist, wenn p falsch und q beliebig ist. Hier haben die meisten Anf¨ anger Probleme. Vielleicht ist es deswegen hilfreich, daran zu erinnern, dass man es umgangssprachlich genauso h¨ alt: Jedesmal, wenn es regnet, brauche ich einen Schirm“ ist auch in der ” Sahara eine wahre Aussage.

Anders formuliert: Ist x · y = 0, so muss x = 0 oder y = 0 gelten ( K¨orper ” sind nullteilerfrei“). (viii) F¨ ur x, y ∈ K definieren wir x − y := x + (−y). Dann gilt x − y = −(y − x). Auch vereinbaren wir, dass x/y die Abk¨ urzung f¨ ur x · y −1 sein soll, wenn −1 y = 0 gilt. Es ist dann (x/y) = y/x, falls x und y von Null verschieden sind. ur alle x, y = 0). (ix) −(x+y) = (−x)+(−y) (f¨ ur alle x, y); (xy)−1 = x−1 y −1 (f¨ (x) (−x)(−y) = xy, (−x)y = x(−y) = −(xy) (f¨ ur alle x, y). Beweis: (i) Unter Ausnutzung von x + y = x m¨ ussen wir zeigen, dass y = 0 ist.

2. Gilt E f¨ ur n, so auch f¨ ur n + 1. “: Das k¨onnen wir sofort nachrechnen, denn es ist wirklich: ” 1 k=1= k=1 1(1 + 1) ; 2 hier wurde nur ausgenutzt, wie das Summenzeichen bei einem einzigen Summanden definiert war. h. n ist irgendeine nat¨ urliche Zahl mit der ” n Eigenschaft k=1 k = n(n + 1)/2. h. dass n+1 (n + 1)[(n + 1) + 1] . k= 2 k=1 Nun ist aber n+1 n Def. k = k + (n + 1) k=1 k=1 Voraussetzung = = n(n + 1) + (n + 1) 2 (n + 1)[(n + 1) + 1] , 2 und damit ist der Beweis vollst¨andig. Beweis 2 (Standard): Der Beweis besteht wieder aus drei Teilen: einer kleinen Rechnung, der Formulierung der Aussage die Behauptung gilt f¨ ur n“ und dem ” Nachweis, dass die Behauptung dann auch f¨ ur n + 1 gilt: • Induktionsanfang: Der Satz ist richtig f¨ ur n = 1 wegen 1 k=1= k=1 1(1 + 1) .

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by Kenneth
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